- Полугруппа
-
В математике полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией .
Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента (единицы). Однако, следуя общепринятому подходу, мы не будем предполагать непустоту и существование нейтрального элемента, а полугруппу с нейтральным элементом будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив .
Содержание
Примеры полугрупп
- Положительные целые числа с операцией сложения.
- Любая группа является также и полугруппой.
- Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
- Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
- Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
- Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)
Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что .
Структура полугруппы
Если , то принято обозначать
Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.
Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.
Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.
Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как
- .
Для степени элемента справедливо .
Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.
Отношения Грина
В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе определяются следующими формулами
Уже из определения видно, что R - левая конгруэнция, а L - правая конгруэнция. Также известно, что . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и - соответствующие правые сдвиги, то - взаимно обратные биекции на и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.
См. также
Категория:- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.